Attento a non fare confusione.
Dal punto di vista fisico, alla domanda "la corrente passa tra le sue due armature" la risposta è sempre NO.
Tuttavia se dici "sto studiando i circuiti in transitorio" e chiedi "nel ramo in cui è presente il condensatore la corrente passa?" la risposta è SI.
In quel ramo, in transitorio, la corrente passa: cariche si muovono infatti per andare a depositarsi sulle armature del condensatore (carica) oppure da lì si allontanano (scarica), per cui se metti un amperometro su quel ramo vedi che c'è corrente. Quindi corrente nel ramo sì, corrente tra le armature no. Se ti pare che sia impossibile (cariche accorrono, ma poi restano lì, senza traversare mai il condensatore... non può certo durare all'infinito), rifletti sul fatto che stai appunto studiando il transitorio, quindi un periodo breve: pian piano infatti la repulsione (nel caso di carica) che le cariche già presenti sulle armature esercitano su quelle ulteriori che vi si recherebbero azzera la corrente: fisicamente "il condensatore è carico" e la tensione (campo elettrico) ai suoi capi uguaglia la tensione che lo stava caricando.
Per quanto riguarda la TENSIONE, quella non "PASSA NEL RAMO" (cioè "scorre attraverso un condotto") davvero, poiché la tensione non è flusso, ma solo espressione di un campo elettrico. Quindi il termine PASSA NEL RAMO è improprio. Se invece poni la domanda come "tra le armature del condensatore è presente una tensione?", allora la risposta sarebbe sì: tanta più quanto più il condensatore è carico (V=Q/C).
Spero di essere stato chiaro e semplice, tanti altri ti avevano già risposto benissimo.